根据准线和顶点求锥面方程

根据准线和顶点求锥面方程

锥面的定义

一个锥面是由一条准线和一个顶点构成的。准线可以是任何形状的曲线，而顶点是一个不在准线平面上的点。从顶点到准线上的每一点引直线，这些直线构成的曲面就是锥面。

求锥面方程的步骤

1. 准线方程：

   假设准线可以用参数方程 \(\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\) 表示。

2. 锥面定义：

   从顶点 \( V(x_0, y_0, z_0) \) 到准线 \( C \) 上每一点 \((x(t), y(t), z(t))\) 作直线。

   锥面上的任意一点 \((x, y, z)\) 满足：

   \[ \frac{x - x_0}{x(t) - x_0} = \frac{y - y_0}{y(t) - y_0} = \frac{z - z_0}{z(t) - z_0} \]

例子

假设准线是圆 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 在 \( z = h \) 平面上，顶点为 \( V(0, 0, 0) \)。

• 圆的参数方程为 \(\mathbf{r}(t) = (r \cos t, r \sin t, h)\)。
• 通过消去参数 \( t \)，可以得到锥面方程：

\[ z \sqrt{x^2 + y^2} = hr \]