八面体| u | + | v | + | w | ≤ 1 的体积计算

\(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 的体积计算

为了计算由不等式 \(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 定义的区域的体积，我们需要了解这个区域在三维空间中形成的几何形状。这个不等式定义了一个八面体（正八面体），其顶点在 \((\pm1, 0, 0)\)、\((0, \pm1, 0)\) 和 \((0, 0, \pm1)\) 处。

由于这个八面体是对称的，我们可以通过计算一个部分的体积，然后乘以对称部分的数量来得到总体积。

计算步骤：

1. 分区域计算：

   由于八面体是对称的，我们可以只计算位于第一象限的一个小金字塔的体积，然后乘以对称部分的数量来得到总体积。

2. 定义小金字塔：

   在第一象限中，\((u, v, w) \geq 0\)，不等式 \(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 简化为 \(u + v + w \leq 1\)。这个区域是一个四面体，其顶点在 \((0, 0, 0)\)、\((1, 0, 0)\)、\((0, 1, 0)\) 和 \((0, 0, 1)\)。

3. 计算小金字塔的体积：

   棱锥的体积 \(V\) 公式为：

   \(V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高}\)

   在这里，底面是一个以 \((0, 0, 0)\)、\((1, 0, 0)\) 和 \((0, 1, 0)\) 为顶点的直角三角形，其面积为 \(\frac{1}{2}\)。高度是从 \((0, 0, 1)\) 到底面的垂直距离，为 1。因此，小金字塔的体积为：

   \(V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{6}\)

4. 考虑对称性：

   由于八面体有 8 个对称部分（每个象限一个），总的体积为：

   \(V_{\text{total}} = 8 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}\)

结论：

满足不等式 \(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 的区域的体积是 \(\frac{4}{3}\) 立方单位。

重积分\(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 的体积计算

为了计算由不等式 \(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 定义的区域的体积，我们需要了解这个区域在三维空间中形成的几何形状。这个不等式定义了一个正八面体，其顶点在 \((\pm1, 0, 0)\)、\((0, \pm1, 0)\) 和 \((0, 0, \pm1)\) 处。

由于这个八面体是对称的，我们可以通过计算一个部分的体积，然后乘以对称部分的数量来得到总体积。

计算步骤：

1. 定义积分区域：

   在第一象限中，\((u, v, w) \geq 0\)，不等式 \(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 简化为 \(u + v + w \leq 1\)。这个区域的体积可以通过三重积分计算：

   \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-u} \int_{0}^{1-u-v} dw \, dv \, du\)

2. 计算积分：

   首先，计算最内层积分：

   \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-u} (1 - u - v) \, dv \, du\)

   然后，计算中间层积分：

   \(\int_{0}^{1} \left[ (1 - u)v - \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{1-u} \, du\)

   最后，计算最外层积分：

   \(\int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{2} - u + \frac{u^2}{2} \right] \, du = \left[ \frac{u}{2} - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}\)

3. 考虑对称性：

   由于八面体有 8 个对称部分，总的体积为：

   \(V_{\text{total}} = 8 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}\)

结论：

满足不等式 \(|u| + |v| + |w| \leq 1\) 的区域的体积是 \(\frac{4}{3}\) 立方单位。

MATLAB绘图代码：

% 定义网格点的范围和数量
n = 50; % 网格点数量
[u, v, w] = meshgrid(linspace(-1, 1, n), linspace(-1, 1, n), linspace(-1, 1, n));

% 定义不等式 |u| + |v| + |w| <= 1
F = abs(u) + abs(v) + abs(w);

% 绘制等值面
figure;
isosurface(u, v, w, F, 1);

% 添加图像细节
xlabel('u');
ylabel('v');
zlabel('w');
title('|u| + |v| + |w| \leq 1');
axis equal;
grid on;

% 设置视角
view(3);