[高数]变上限积分的等价代换

变上限积分的等价代换是一种积分技巧，它允许我们通过改变积分变量的上限来简化积分的计算。这种技巧通常用于解决那些直接计算较为复杂的积分问题。以下是一些常见的变上限积分等价代换方法：

替换上限：
如果有一个变上限积分

\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt

可以通过替换上限来简化积分。例如，如果 ( b(x) = g(x) + h )，则积分可以写作：

\int_{a(x)}^{g(x) + h} f(t) , dt

分部积分：
使用分部积分法，可以通过选择合适的 ( u ) 和 ( dv ) 来改变积分的形式。例如，如果 ( u = g(x) ) 且 ( dv = f(t) , dt )，则可能有：

\int g(x) f'(x) , dx = g(x) f(x) - \int f(x) g'(x) , dx

如果积分的上限是变量 ( x )，则这个技巧可能需要结合变上限积分的处理。

变量替换：
通过选择合适的变量替换，可以简化积分的形式。例如，如果 ( t = h(x) )，则 ( dt = h'(x) , dx )，积分可以改写为：

\int f(h(x)) h'(x) , dx

这种方法在处理含有复合函数的积分时特别有用。

积分部分函数：
有时，可以通过将积分分为几个部分，然后对每个部分应用不同的变量替换或其他技巧。例如：

\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt = \int_{a(x)}^{c(x)} f(t) , dt + \int_{c(x)}^{b(x)} f(t) , dt

其中 ( c(x) ) 是 ( a(x) ) 和 ( b(x) ) 之间的某个点。

拉格朗日中值定理：
如果 ( f(x) ) 在闭区间 ([a, b]) 上连续，在开区间 ((a, b)) 内可导，则根据拉格朗日中值定理，存在某个 ( \xi ) 在 ( (a, b) ) 内，使得：

\int_{a}^{b} f'(x) , dx = f(b) - f(a)

这种方法可以用于将变上限积分转化为定上限积分。

以下是一个具体的例子来说明如何应用这些技巧：

假设我们有以下变上限积分：

\int_{1}^{x^2} e^t , dt

我们可以通过以下步骤来简化它：

a) 使用变量替换：设 ( u = x^2 )，则 ( du = 2x , dx ) 或 ( dx = \frac{du}{2x} )。

b) 改变积分变量：将 ( t ) 替换为 ( u )，并且改变积分的极限，从 ( t = 1 ) 到 ( u = x^2 )，积分变为：

\int_{1}^{x^2} e^t , dt = \int_{1}^{x^2} e^u \frac{du}{2x} = \frac{1}{2x} \int_{1}^{x^2} e^u , du

c) 计算定上限积分：计算

\int_{1}^{x^2} e^u , du 

\int_{1}^{x^2} e^u , du = [e^u]_{1}^{x^2} = e^{x^2} - e^1

d) 将结果代回：将上面的结果代回我们的变上限积分中：

\frac{1}{2x} (e^{x^2} - e^1)

通过这些步骤，我们成功地将一个变上限积分转换为了一个更简单的形式，并得到了最终的结果。